[알고리즘] 최단 경로

1. 최단 경로 문제란?

 - 최단 경로 문제란 두 노드를 잇는 가장 짧은 경로를 찾는 문제임

 - 가중치 그래프에서 간선의 가중치 합이 최소가 되도록 하는 경로를 찾는 것이 목적

 

최단 경로 문제 종류

단일 출발 및 단일 도착 최단 경로 문제

 - 그래프 내의 특정 노드 u에서 출발, 또다른 특정 노드 v에 도착하는 가장 짧은 경로르 찾는 문제

 

단일 출발 최단 경로 문제

 - 그래프 내의 특정 노드 u와 그래프 내 다른 모든 노드 각각의 가장 짧은 경로를 찾는 문제

*A,B,C,D라는 노드를 가진 그래프에서 특정 노드를 A라고 한다면 A외 모든 노드인 B C D 각 노드와 A간에 각각 가장 짧은 경로를 찾는 문제를 의미함

 

전체 쌍 최단 경로

- 그래프 내의 모든 노드 쌍 (u,v)에 대한 최단 경로를 찾는 문제

 

2. 최단 경로 알고리즘 - 다익스트라 알고리즘

다익스트라 알고리즘은 위의 최단 경로 문제 종류 중, 2번 해당

 - 하나의 정점에서 다른 모든 정점 간의 각각 가장 짧은 거리를 구하는 문제

 

다익스트라 알고리즘 로직

- 첫 정점을 기준으로 연결되어 있는 정점들을 추가해 가며, 최단 거리를 갱신하는 기법

- 다익스트라 알고리즘은 BFS와 유사

 - 첫 정점부터 각 노드간의 거리를 저장하는 배열을 만든 후, 첫 정점의 인접 노드 간의 거리부터 먼저 계산하면서, 첫 정점부터 해당 노드간의 가장 짧은 거리를 해당 배열에 업데이트

 

- 우선순위 큐를 활용한 다익스트라 알고리즘

우선순위 큐는 MinHeap 방식을 활용해서, 현재 가장 짧은 거리를 가진 노드 정보를 먼저 꺼내게 됨

첫 정점을 기준으로 배열을 선언하여 첫 정점에서 각 정점 까지의 거리를 저장

 - 초기에는 첫 정점의 거리는 0, 나머지는 무한대로 저장함

 - 우선순위 큐에만 (첫 정점, 거리 0)먼저 넣음

 

우선순위 큐에서 노드를 꺼냄

 - 처음에는 첫 정점만 저장되어 있으므로, 첫 정점이 꺼내짐

 - 첫 정점에 인접한 노드들 각각에 대해, 첫 정점에서 각 노드로 가는 거리와 현재 배열에 저장되어 있는 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 비교한다.

- 배열에 저장되어 있는 거리보다, 첫 정점에서 해당 노드로 가는 거리가 더 짧은 경우, 배열에 해당 노드의 거리를 업데이트한다.

- 배열에 해당 노드의 거리가 업데이트된 경우, 우선순위 큐에 넣는다.

  - 결과적으로 BFS와 유사하게 첫정점에 인접한 노드들을 순차적으로 방문하게 됨

  - 만약 배열에 기록된 현재까지 발견된 가장 짧은 거리보다, 더 긴 거리를 가진 (노드,거리)의 경우에는 해당 노드와 인접한 노드간의 거리 계산을 하지 않음

 

2번의 과정을 우선순위 큐에 꺼낼 노드가 없을 때까지 반복한다.

 

3. 예제로 이해하는 다익스트라 알고리즘 (우선순위 큐 활용)

1단계: 초기화

- 첫 정점을 기준으로 배열을 선언하여 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 저장

 - 초기에는 첫 정점의 거리는 0, 나머지는 무한대로 저장함

 - 우선순위 큐에 (첫정점, 거리0)만 먼저 넣음

2단계: 우선순위 큐에서 추출한 (A,0) [노드, 첫 노드와의 거리]를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산

- 우선순위 큐에서 노드를 꺼냄

 - 처음에는 첫 정점만 저장되어 있으므로, 첫 정점이 꺼내짐

 - 첫 정점에 인접한 노드를 각각에 대해, 첫 정점에서 각 노드로 가는 거리와 현재 배열에 저장되어 있는 첫 정점에서 각 정점까지의 거리를 비교한다.

 - 배열에 저장되어 있는 거리보다, 첫정점에서 해당 노드로 가는 거리가 더 짧은 경우, 배열에 해당 노드의 거리를 업데이트 한다.

 - 배열에 해당 노드의 거리가 업데이트된 경우, 우선순위 큐에 넣는다.

   - 결과적으로 너비 우선 탐색과 유사하게, 첫 정점에 인접한 노드들을 순차적으로 방문하게 됨

   - 만약 배열에 기록된 현재까지 발견된 가장 짧은 거리보다, 더 긴 거리를 가진 (노드,거리)의 경우에는 해당 노드와 인접한 노드간의 거리 계산을 하지 않음

3단계: 우선순위 큐에서 (C,1) [노드, 첫 노드와의 거리]를 기반으로 인접한 노드와 거리 계산

- 우선순위 큐가 MinHeap(최소 힙) 방식이므로, 위 표에서 넣어진 (C, 1), (D, 2), (B, 8) 중 (C, 1) 이 먼저 추출됨 (pop)우선순위 큐가 MinHeap 방식이므로 위 표에서 

- 위 표에서 보듯이 1단계까지 A-B 최단 거리는 8인 상황임

 - A-C까지의 거리는 1, C에 인접한 B, D에서 C-B는 5, 즉 A-C-B는 1+5 = 6 이므로, A-B최단 거리 8보다 더 작은 거리를 발견, 이를 배열에 업데이트

  - 배열에 업데이트했으므로 B, 6(즉, A에서 B까지의 현재까지 발견한 최단거리)값이 우선순위 큐에 넣어짐

- C-D의 거리는 2, 즉 A-C-Dsms 1+2=3이므로, A-D의 현재 최단 거리인 2보다 긴 거리, 그래서 D의 거리는 업데이트되지 않음

4단계: 우선순위 큐에서 (D,2) [노드, 첫 노드와의 거리]를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산

- 지금까지 접근하지 못했던 E와 F거리가 계산됨

 - A-D까지의 거리인 2에 D-E가 3이므로 이를 더해서 E, 5

 - A-D까지의 거리인 2에 D-F가 5이므로 이를 더해서 F, 7

5단계: 우선순위 큐에서 (E, 5) [노드, 첫 노드와의 거리] 를 기반으로 인접한 노드와의 거리 계산
- A - E 거리가 5인 상태에서, E에 인접한 F를 가는 거리는 1, 즉 A - E - F 는 5 + 1 = 6, 현재 배열에 A - F 최단거리가 7로 기록되어 있으므로, F, 6 으로 업데이트
  - 우선순위 큐에 F, 6 추가

6단계: 우선순위 큐에서 (B, 6), (F, 6) 를 순차적으로 추출해 각 노드  기반으로 인접한 노드와의 거리 계산
- 예제의 방향 그래프에서 B 노드는 다른 노드로 가는 루트가 없음 
- F 노드는 A 노드로 가는 루트가 있으나, 현재 A - A 가 0 인 반면에 A - F - A 는 6 + 5 = 11, 즉 더 긴 거리이므로 업데이트되지 않음

7단계: 우선순위 큐에서 (F, 7), (B, 8) 를 순차적으로 추출해 각 노드  기반으로 인접한 노드와의 거리 계산
- A - F 로 가는 하나의 루트의 거리가 7 인 상황이나, 배열에서 이미 A - F 로 가는 현재의 최단 거리가 6인 루트의 값이 있는 상황이므로, 더 긴거리인 F, 7 루트 기반 인접 노드까지의 거리는 계산할 필요가 없음, 그래서 계산없이 스킵함
  - 계산하더라도 A - F 거리가 6인 루트보다 무조건 더 긴거리가 나올 수 밖에 없음
- B, 8 도 현재 A - B 거리가 6이므로, 인접 노드 거리 계산이 필요 없음. 

> 우선순위 큐를 사용하면 불필요한 계산 과정을 줄일 수 있음

우선순위 큐 사용 장점

- 지금까지 발견된 가장 짧은 거리의 노드에 대해서 먼저 계산

- 더 긴 거리로 계산된 루트에 대해서는 계산을 스킵할 수 있음

 

 

4. 다익스트라 알고리즘 파이썬 구현(우선순위 큐 활용까지 포함)

참고: heapq 라이브러리 활용을 통해 우선순위 큐 사용하기

- 데이터가 리스트 형태일 경우, 0번 인덱스를 우선순위로 인지, 우선순위가 낮은 순서대로 pop할 수 있음

import heapq

queue = []
heapq.heappush(queue,[2:'A']
heapq.heappush(queue,[5:'B']
heapq.heappush(queue,[1:'C']
heapq.heappush(queue,[7:'D']
print(queue)
for index in range(len(queue)):
	print(heapq.heappop(queue))

다익스트라 알고리즘

- 탐색할 그래프의 시작 정점과 다른 정점들간의 최단 거리 구하기

mygraph = {
    'A': {'B': 8, 'C': 1, 'D': 2},
    'B': {},
    'C': {'B': 5, 'D': 2},
    'D': {'E': 3, 'F': 5},
    'E': {'F': 1},
    'F': {'A': 5}
}

import heapq

def dijkstra(graph, start):
    
    distances = {node: float('inf') for node in graph}
    distances[start] = 0
    queue = []
    heapq.heappush(queue, [distances[start], start])
    
    while queue:
        current_distance, current_node = heapq.heappop(queue)
        
        if distances[current_node] < current_distance:
            continue
            
        for adjacent, weight in graph[current_node].items():
            distance = current_distance + weight
            
            if distance < distances[adjacent]:
                distances[adjacent] = distance
                heapq.heappush(queue, [distance, adjacent])
                
    return distances
    
    dijkstra(mygraph, 'A')

5. 시간 복잡도

- 위 다익스트라 알고리즘은 크게 다음 두 가지 과정을 거침

  - 과정1: 각 노드마다 인접한 간선들을 모두 검사하는 과정

  - 과정2: 우선 순위 큐에 노드/거리 정보를 넣고 삭제하는 과정

-각 과정 별 시간 복잡도

 - 과정1 : 각 노드는 최대 한 번씩 방문하므로 (첫 노드와 해당 노드간의 갈 수 있는 루트가 있는 경우만 해당), 그래프의 모든 간선은 최대 한번씩 검사

 - 과정2: 우선순위 큐에 가장 많은 노드, 거리 정보가 들어가는 경우, 우선순위 큐에 노드/거리 정보를 넣고, 삭제하는 과정이 최악의 시간이 걸림

   - 우선순위 큐에 가장 많은 노드, 거리 정보가 들어가는 시나리오는 그래프의 모든 간선이 검사될 때마다, 배열의 최단거리가 갱신되고 우선순위 큐에 노드/거리가 추가되는 것임

  - 이 때 추가는 각 간선마다 최대 한 번 일어날 수 있으므로, 최대 O(E)의 시간이 걸리고, O(E) 개의 노드/거리 정보에 대해 우선순위 큐를 유지하는 작업은 O(log{E})가 걸림
      - 따라서 해당 과정의 시간 복잡도는 O(Elog{E})

 

총 시간 복잡도
  - 과정1 + 과정2 = O(E) + O(Elog{E})  = O(E + Elog{E}) = O(Elog{E})

 

참고: 힙의 시간 복잡도
- depth (트리의 높이) 를 h라고 표기한다면,
- n개의 노드를 가지는 heap 에 데이터 삽입 또는 삭제시, 최악의 경우 root 노드에서 leaf 노드까지 비교해야 하므로  h=log2n  에 가까우므로, 시간 복잡도는  O(logn)